Question

椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴为短轴的倍，直线y=x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，•=．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上两点E、F使+=λ，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．

Answer

（1）根据题意可知a=b，C（a，0），设A（t，t），把A点坐标代入椭圆方程求得t，进而表示出和进而根据，•=求得a和b，椭圆方程可得．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x，y），根据+=λ的方程组，把E，F点坐标代入椭圆方程，两式相减可得+y12-y22=0，进而可得直线EF的斜率，根据点斜式写出直线EF的方程，代入椭圆方程消去x，进而根据韦达定理求出
y1+y2和y1y2进而表示出|EF|，同时表示出原点到直线EF的距离，进而根据三角形面积公式，表示出三角形OEF的面积，根据λ的范围求得△OEF面积的最大值．
【解析】
（1）根据题意，a=b，C（a，0），
设A（t，t），则t＞0，+=1．
解得t2==b2，即t=b，
∴=（b，b），=（a，0），•=ab=b2=，
∴b=1，a=，
∴椭圆方程为+y2=1．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x，y），
∵+=λ，
∴
∵E、F在椭圆上，则
由①-②得+y12-y22=0，
∴kEF==-×=-，
∴直线EF的方程为y-λ=-（x-λ），
即x=-3y+λ，代入+y2=1，
整理得4y2-2λy+λ2-1=0，
∴y1+y2=λ，y1y2=，
∴|EF|==|y1-y2|
=•=•，
又∵原点O（0，0）到直线EF的距离为h=，
∴S△OEF=|EF|h==≤×=，
当λ=时等号成立，所以△OEF面积的最大值为．