Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=，点P为椭圆上一动点，点F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A，点M为动点，且||²，•，•成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用离心率和a，b与c的关系求得a和b的关系，根据椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，进而求得bc的关系，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）根据（1）中的方程求得A和两焦点坐标，设出M的坐标，利用，，，根据已知条件求得x和y的关系，点M的轨迹方程可得．
【解析】
（1）设椭圆C1的方程为+=1（a＞b＞0），c=，则=，所以a=2b、
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，
△PF1F2的面积最大，故|F1F2|b=bc=，
解得a=2，b=1．
故所求椭圆方程为+y2=1．
（2）由（1）知A（0，1），F1（-，0），F2（，0），
设M（x，y），则=（-，1），=（x-，y），=（x，y-1），=（-，-1）．
由已知条件得x（x-）+y（y-1）=-x-y，整理，得M的轨迹C2的方程为x2+y2=．