Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明．

Answer

（1）把an的通项公式代入am+am+1=ak，整理可得k和m的关系式，结果为分数，根据m、k∈N，可知k-2m也应该为整数，进而可判定不存在n、k∈N*，使等式成立．
（2）利用特殊值法，令m=1，则可知b1•b2=bk，把等比数列的通项公式代入整理可得a=qc，其中c是大于等于-2的整数；反之a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，则bn=qn+c，代入bm•bm+1中整理得bm•bm+1=bk，进而可判断a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于-2的整数
（3）设bm+1+bm+2+…+bm+p=ak，先看当p为偶数时等式左边为偶数，右边为奇数，等式不可能成立；再看当p=1时，等式成立，当p≥3且为奇数时，根据bm+1+bm+2+…+bm+p=ak，整理可得3m+1（3p-1）=4k+2，进而可知3m+1[2（Cp2+Cp2•22++Cpp•2p-2）+p]=2k+1，此时，一定有m和k使上式一定成立．综合可知当p为奇数时，命题都成立．
【解析】
（1）由am+am+1=ak，得6m+6+3k+1，
整理后，可得，∵m、k∈N，
∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N*，使等式成立．
（2）当m=1时，则b1•b2=bk，
∴a2•q3=aqk∴a=qk-3，即a=qc，其中c是大于等于-2的整数
反之当a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，则bn=qn+c，
显然bm•bm+1=qm+c•qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于-2的整数
（3）设bm+1+bm+2+…+bm+p=ak
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得，
整理得3m+1（3p-1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3p-1=（1+2）p-1
=Cp+Cp1•21+Cp2•22++Cpp•2p-1
=Cp1•21+Cp2•22++Cpp•2p
=2（Cp1+Cp2•2++Cpp•2p-1）
=2[2（Cp2+Cp2•22++Cpp•2p-2）+p]
∴由3m+1（3p-1）=4k+2，得3m+1[2（Cp2+Cp2•22++Cpp•2p-2）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．