解一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系,由已知条件可知椭圆的极坐标方程为∴,
据此能够求出α的取值.
解二:以椭圆的中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)由已知条件知,椭圆的方程为MN所在直线方程为(其中k=tanα),联立方程组后由题设条件能够推导出α的取值.
解三:建立坐标系得椭圆方程为MN所在直线的参数方程为,y=tsinα(t是参数)代入椭圆方程得设t1,t2是方程两根,则由韦达定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值.
解四:设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=,∠F2F1M=α,在△MF1F2中由余弦定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值.
【解析】
法一:以椭圆焦点F1为极点,
以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3,
半焦距c=,短半轴b=1,
离心率e=,中心到准线距离=,
焦点到准线距离p=.
椭圆的极坐标方程为
∴,
.
解得.∴或.
以上解方程过程中的每一步都是可逆的,
所以当或时,|MN|等于短轴的长.
法二:以椭圆的中心为原点,
F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)由已知条件知,椭圆的方程为.
MN所在直线方程为(其中k=tanα)
解方程组.
消去y得.=
=,解得.∴或.
所以当或时,|MN|等于短轴的长
法三:建立坐标系得椭圆方程为.
MN所在直线的参数方程为(t是参数)
代入椭圆方程得.
设t1,t2是方程两根,则由韦达定理,
.
.=,
解得.∴或.
所以当或时,|MN|等于短轴的长
法四:设|F1M|=x,则|F2M|=6-x
|F1F2|=,∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
,
同理,设|F1N|=y,则|F2N|=6-y在△F1F2N中,由余弦定理得
.
,
=2,解得.
∴或.
所以当或时,|MN|等于短轴的长.