Question

已知数列{a_n}的首项a₁=b（b≠0），它的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），并且S₁，S₂，S_n，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1），
（1）证明：a₂，a₃，a₃，…a_n，…（即{a_n}从第二项起）是一个等比数列；
（2）设W_n=a₁S₁+a₂S₂+a₃S₃+…+a_nS_n（n≥1），求（用b，p表示）．

Answer

（1）由题前n项的和Sn是一个等比数列，利用an与Sn的关系，求出an进而可证．
（2）先判断{anSn}是什么数列，再求和进而求极限得解．
【解析】
（1）证明：由已知条件得S1=a1=b．
Sn=S1pn-1=bpn-1（n≥1）
因为当n≥2时，Sn=a1+a2++an-1+an=Sn-1+an，所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2（p-1）（n≥2）
从而，
因此a2，a3，a3，an，是一个公比为p的等比数列
（2）当n≥2时，，
且由已知条件可知p2＜1，
因此数列a1S1，a2S2，a3S3，anSn是公比为p2＜1的无穷等比数列，于是．
从而

=
=．