Question

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．

Answer

（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M的坐标；
（3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程．
【解析】
（I）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得；
设点M的坐标为（x，y），则解得x=11，y=-4所以点M的坐标为（11，-4）

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为y+4=k（x-11）（k≠0）
由消x得ky2-32y-32（11k+4）=0
所以由（II）的结论得解得k=-4
因此BC所在直线的方程为y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．