Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

Answer

（1）由题意知，所以=，由此可知数列{an}的通项公式．
（2）由题设条件知Sn+Tn==，为使Sn+Tn=为整数，当且仅当为整数．由此可确定最小正整数n，使Sn+Tn为整数．
【解析】
（1）条件可化为，
因此{}为一个等比数列，其公比为2，首项为，
所以=1°
因an＞0，由1°式解出an=2°
（2）由1°式有Sn+Tn=
=
=
为使Sn+Tn=为整数，
当且仅当为整数．
当n=1，2时，显然Sn+Tn不为整数，
当n33时，4n-1=（1+3）n-1=Cn1×3+Cn2×32+33（Cn3++3n-3Cnn）
∴只需=为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，=13为整数，
故n的最小值为9．