Question

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x₁、x₂和x_n的表达式；
（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．

Answer

（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，进而利用斜率公式得x1=1，再由当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），可得xn的递推关系，再利用累加法求得xn的表达式．
（2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域．
（3）法1：分情况用数学归纳法证明．
     法2：分情况利用当xn＜x≤xn+1时有f（x）-f（xn）=bn（x-x）＞x-xn（n≥1），从而f（x）-x＞f（xn）-xn．进而得解．
【解析】
（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b=1的线段，故由
得x1=1．
又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由，即得．
记x=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得．
又f（xn）=n，f（xn-1）=n-1；
所以．
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为．
因b≠1，得
=，
即．
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bn（x-xn）（xn≤x≤xn+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对进行讨论．
当b＞1时，；
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大．
综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
（3）证法一：首先证明当b＞1，时，恒有f（x）＞x成立．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x2]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假设n=k时在（xk，xk+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（xk+1）=k+1＞xk+1，
在（xk+1，xk+2]上，f（x）=k+1+bk+1（x-xk+1）．
所以f（x）-x=k+1+bk+1（x-xk+1）-x=（bk+1-1）（x-xk+1）+（k+1-xk+1）＞0也成立．
由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn+1]上都有f（x）＞x成立．
即时，恒有f（x）＞x．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
证法二：首先证明当b＞1，时，恒有f（x）＞x成立．
对任意的，存在xn，使xn＜x≤xn+1，
此时有f（x）-f（xn）=bn（x-x）＞x-xn（n≥1），
所以f（x）-x＞f（xn）-xn．
又，
所以f（xn）-xn＞0，
所以f（x）-x＞f（xn）-xn＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．