Question

已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．

Answer

（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证
（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可
（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO
（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，
（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P-ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求
（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求
【解析】
（Ⅰ）证明：连接CF．
∵PE=EF=BC=AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC⊂平面PCF，
∴PC⊥AB，
∴PC⊥平面PAB．（4分）

（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC为所求二面角的平面角．
设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．
∴cos∠PFC==．（8分）
解法二：设P在平面ABC内的射影为O．
∵△PAF≌△PAE，
∴△PAB≌△PAC．
得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．
∴∠PFO为所求二面角的平面角．
设AB=a，则PF=，OF=•a．
∴cos∠PFO==．（8分）
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．
∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．
∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．
∴△ABC的边长为2．（12分）
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD为直角三角形．
设AB=x，球半径为R．
∵4πR2=12π，∴PD=2．
∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，
∴=x（2-x）．
于是x=2．
∴△ABC的边长为2．（12分）