Question

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（Ⅰ）设S为十字形的面积，根据图形能够得到其表达式为S=2xy-x2，再由圆的参数方程知x=cosθ，y=sinθ，故S=2sinθcosθ-cos2θ（＜θ＜）．
（Ⅱ）由S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin（2θ-φ）-可以求出θ为何值时，十字形的面积最大和最大面积是多少．
【解析】
（Ⅰ）设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ（＜θ＜）．（4分）
（Ⅱ）S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin（2θ-φ）-，
其中φ=arccos．（8分）
当sin（2θ-φ）=1，即2θ-φ=时，S最大．（10分）
所以，当θ=+arccos时，S最大．S的最大值为（12分）