Question

已知函数f（x）=（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤；
（Ⅱ）证明S_n＜．

Answer

（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式bn≤当n=1时成立，再假设不等式bn≤当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤对于所有的正整数n成立；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明Sn＜，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．
因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤．
（1）当n=1时，b1=-1，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．
那么bk+1=|ak+1-|=
≤．
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．
所以Sn=b1+b2+…+bn≤（-1）++…+=（-1）•＜（-1）•=．
故对任意n∈N*，Sn＜．