Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足||=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y），
由题设条件知||===，
由此能够推导出||=a+x．

证法二：设点P的坐标为（x，y）．记||=r1，||=r2，
由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，能够推导出||=r1=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0，
由椭圆第二定义得=，由此入手推导出||=a+x．

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当|时，由题设条件知T为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，，由此求出点T的轨迹C的方程．
解法二：在推导出T为线段F2Q的中点的基础上，设点Q的坐标为（x'，y'），
由中点坐标公式和||=2a推导出点T的轨迹C的方程．
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x，y）使S=b2的充要条件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．再分类讨论进行求解．
解法二：C上存在点M（x，y）使S=b2的充要条件是
由④得|y|≤．上式代入③得x2=a2-=（a-）（a+）≥0．再分类讨论进行求解．
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）．
由P（x，y）在椭圆上，得||===
由x≥a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x
证法二：设点P的坐标为（x，y）．记||=r1，||=r2，
则r1=，r2=．
由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，得||=r1=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0
由椭圆第二定义得=，即||=|x+|=|a+x|．
由x≥-a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x．
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．
当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当|时，由，得．
又，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，，所以有x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
解法二：设点T的坐标为（x，y）．当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当||≠0且||≠0，时，由•=0，得⊥．
又，||，所以T为线段F2Q的中点．
设点Q的坐标为（x'，y'），则
因此①
由||=2a得（x'+c）2+y'2=4a2．②
将①代入②，可得x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x，y）使S=b2的充要条件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．所以，当a≥时，存在点M，使S=b2；
当a＜时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
由•=x2-c2+y2=a2-c2=b2，•=||•||=cos∠F1MF2，
S=•sin∠F1MF2=b2，得tan∠F1MF2=2．
解法二：C上存在点M（x，y）使S=b2的充要条件是

由④得|y|≤．上式代入③得x2=a2-=（a-）（a+）≥0
于是，当a≥时，存在点M，使S=b2；
当a＜时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，记k1=kF1M=，k2=kF2M=，
由|F1F2|＜2a，知∠F1MF2＜90°，所以tan∠F1MF2=||=2．