由于z2=a-2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.当z是实数时,本题是一个关于z的一元二次方程组,解方程组即可;当z是一个纯虚数时,按照实数方程求解得到z的虚部,写出纯虚数即可.
【解析】
设|z|=r.若a<0,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数,从而r2=2r-a.
由于z2=a-2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.
解得r=(r=<0,不合,舍去).故z=±()i.
若a≥0,对r作如下讨论:
(1)若r≤a,则z2=a-2|z|≥0,于是z为实数.
解方程r2=a-2r,得r=(r=<0,不合,舍去).
故z=±().
(2)若r>a,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数.
解方程r2=2r-a,得r=或r=(a≤1).
故z=±()i(a≤1).
综上所述,原方程的解的情况如下:
当a<0时,解为:z=±()i;
当0≤a≤1时,解为:z=±(),z=±()i;
当a>1时,解为:z=±().