Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x，y），且x₁＜x＜x₂，使得曲线在点Q处的切线ℓ∥P₁P₂，则称ℓ为弦P₁P₂的伴随切线．特别地，当x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1）时，又称ℓ为P₁P₂的λ-伴随切线．
（ⅰ）求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer

（I）先求f（x）的导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负情况研究原函数的极值；
（Ⅱ）设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））是曲线y=f（x）上的任意两点，要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x，f（x）），x1＜x＜x2，使得，且点Q不在P1P2上．
【解析】
（Ⅰ）（2分）
当a≥0（0，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）在内是增函数，
∴函数f（x）没有极值．（3分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

∴当时，f（x）取得极大值．
综上，当a≥0时，f（x）没有极值；
当a＜0时，f（x）的极大值为，没有极小值．（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））是曲线y=f（x）上的任意两点，
要证明P1，P2有伴随切线，只需证明存在点Q（x，f（x）），x1＜x＜x2，
使得，且点Q不在P1P2上．（7分）
∵，即证存在x∈（x1，x2），使得，
即xlnx2-xlnx1+x1-x2=0成立，且点Q不在P1P2上．（8分）
以下证明方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解．
设F（x）=xlnx2-xlnx1+x1-x2，0＜x＜x2．
则F（x1）=x1lnx2-x1lnx1+x1-x2．
记g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，0＜x＜x2，
∴g'（x）=lnx2-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x2）内是增函数，
∴F（x1）=g（x1）＜g（x2）=0．（9分）
同理F（x2）＞0．∴F（x1）F（x2）＜0．
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有解x=x．（10分）
又对于函数g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2，
∵0＜x1＜x＜x2，∴g（x）=xlnx2-xlnx+x-x2＜g（x2）=0，
可知，即点Q不在P1P2上．
又F（x）=（lnx2-lnx1）x+x1-x2在（x1，x2）内是增函数，
∴方程xlnx2-xlnx1+x1-x2=0在（x1，x2）内有唯一解．
综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的．