Question

已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α-AB-β的取值范围是    ．

Answer

本题考查的知识点是二面角及其度量，由于二面角α-AB-β的可能是锐二面角、直二面角和钝二面角，故我们要对二面角α-AB-β的大小分类讨论，利用反证法结合点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，易得到结论．
【解析】
若二面角α-AB-β的大小为锐角，
则过点P向平面β作垂线，设垂足为H．
过H作AB的垂线交于C，
连PC、CH、OH，则∠PCH就是所求二面角的平面角．
根据题意得∠POH≥45，
由于对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，
∴∠POH≥45°，
设PO=2x，则
又∵∠POB=45°，
∴OC=PC=，而在Rt△PCH中应有
PC＞PH，
∴显然矛盾，故二面角α-AB-β的大小不可能为锐角．
即二面角α-AB-β的范围是：[90°，180°]．
若二面角α-AB-β的大小为直角或钝角，
则由于∠POB=45°，
结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°．
即二面角α-AB-β的范围是[90°，180°]．
故答案为：[90°，180°]．