Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1、a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇及a_2n（n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项和S_2n．

Answer

（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a2k-1≤a2k写出当k=1，2，3，4时相邻两项，
（Ⅱ）由（1），寻找规律，得到数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k的通项，最后采用分组求和的方法求数列{an}的前2n项和S2n
【解析】
（I）【解析】
易求得方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k．
当k=1时x1=3，x2=2，所以a1=2，a2=3
当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4，a4=6
当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8，a6=9
当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12，a8=16
因为n≥4时，2n＞3n，所以a2n-1=3（2n-1），a2n=2n（n≥4）
（Ⅱ）S2n=a1+a2+…+a2n=（3+6+…+3n）+（2+22+…+2n）
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