Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（I）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（II）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明．

Answer

（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之；
（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元
一次函数的单调性加以解决．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
（1）当k=2时，f（x）=|x2-1|+x2+kx
①当x2-1≥0时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x2+2x-1=0
解得，因为，故舍去，所以．
②当x2-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0
解得
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．
（II）【解析】
不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由f（x1）=0得，所以k≤-1；
由f（x2）=0得，所以；
故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．
当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2-1=0
消去k得2x1x22-x1-x2=0
即，因为x2＜2，所以．