Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于点F．
（I）求证：A₁C⊥平BDC₁；
（II）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（Ⅰ）A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，则A1C⊥BD，同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，根据直线与平面垂直的判定定理可知A1C⊥平面BDC1．
（Ⅱ）取EF的中点H，连接BH、CH，BH⊥EF，同理CH⊥EF，根据二面角平面角的定义可知∠BHC是二面角B-EF-C的平面角，又E、F分别是AC、B1C的中点，则，从而△BEF与△CEF是两个全等的正三角形，可求出BH=CH=，于是在△BCH中，由余弦定理，可求得cos∠BHC，最后利用反三角表示即可．
证明：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．
同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，
∴A1C⊥平面BDC1．
（Ⅱ）取EF的中点H，连接BH、CH，
∵，∴BH⊥EF．
同理CH⊥EF．
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角．
又E、F分别是AC、B1C的中点，∴．
∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形．
故BH=CH=．
于是在△BCH中，由余弦定理，得cos∠BHC=
∴．
故二面角B-EF-C的大小为π-arccos．