Question

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：=+，那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

Answer

利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质
通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质．
【解析】
如图（1）所示，由射影定理知AD2=BD•DC，AB2=BD•BC，AC2=BC•DC，
∴=
==．
又BC2=AB2+AC2，
∴==+．
所以=+．
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则=++．
如图（2），连接BE交CD于F，
连接AF．∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴=+．
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴=+．
∴=++，故猜想正确．