Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，S₄=2S₂+4，，
（1）求公差d的值；
（2）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围
（3）若，判别方程S_n+T_n=2009是否有解？说明理由．

Answer

（1）由S4=2S2+4，知，由此能求出公差d的值；
（2）解法1：由an=a1+（n-1）d=n+a1-1，知，再由对任意的n∈N*，都有Sn≥S8，知，由此能求出a1的取值范围．
解法2：由于等差数列{an}的公差d=1＞0，Sn要取得最大值，必须有，由此能求出a1的取值范围．
（3）由于等比数列{bn}满足，，，，所以方程Sn+Tn=2009转化为：，由此推导出方程Sn+Tn=2009无解．
【解析】
（1）∵S4=2S2+4，∴（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：an=a1+（n-1）d=n+a1-1（1分）

∵对任意的n∈N*，都有Sn≥S8，∴（4分）
∴-8≤a1≤-7
∴a1的取值范围是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差数列{an}的公差d=1＞0，Sn要取得最大值，
必须有（1分）

求得-8≤a1≤-7（4分）
∴a1的取值范围是[-8，-7]（5分）

（3）由于等比数列{bn}满足，（1分）
（2分）
（3分）
则方程Sn+Tn=2009转化为：（3分）
令：，
由于
所以f（n）单调递增（4分）
当1≤n≤63时，（5分）
当n≥64时，（6分）
综合：方程Sn+Tn=2009无解．