Question

已知半椭圆和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

Answer

（1）由题设条件知，所以b=1，由此可知半圆x2+y2=b2（y≤0）在点M处的切线与直线AG平行，所以OM⊥AG，，所以，所以曲线C的方程为或x2+y2=1（y≤0）．
（2）设P（x，y），则有直线PC的方程为，令y=0，得B1，所以；直线PD的方程为，令y=0，得，．由此入手能够推导出AE2+BF2为定值．
【解析】
（1）已知点
在半圆x2+y2=b2（y≤0）上，
所以，又b＞0，
所以b=1，当半圆x2+y2=b2（y≤0）
在点P处的切线与直线AG平行时，
点P到直线AG的距离最大，
此时△AGP的面积取得最大值，
故半圆x2+y2=b2（y≤0）
在点M处的切线与直线AG平行，
所以OM⊥AG，又，
所以，又b=1，所以，（4分）
所以曲线C的方程为或x2+y2=1（y≤0）．
（2）点，点，
设P（x，y），则有直线PC的方程为，
令y=0，得x=1-，
所以；
直线PD的方程为，
令y=0，得，
所以；
则
=，
又由x2+y2=1，得x2=1-y2，
代入上式得AE2+BF2=
=
=，所以AE2+BF2为定值．