已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f
1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f
2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f
2(x)-f
1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.
(1)若f(x)=cosx,x∈[0,π],试写出f
1(x),f
2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=x
2,x∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k;如果不是,请说明理由;
(3)已知b>0,函数f(x)=-x
3+3x
2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围.
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定义:如果数列{a
n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{a
n}为“三角形”数列.对于“三角形”数列{a
n},如果函数y=f(x)使得b
n=f(a
n)仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数列{a
n}的“保三角形函数”,(n∈N
﹡).
(1)已知{a
n}是首项为2,公差为1的等差数列,若f(x)=k
x,(k>1)是数列{a
n}的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(2)已知数列{c
n}的首项为2010,S
n是数列{c
n}的前n项和,且满足4S
n+1-3S
n=8040,证明{c
n}是“三角形”数列;
(3)[文科]若g(x)=lgx是(2)中数列{c
n}的“保三角形函数”,问数列{c
n}最多有多少项.
[理科]根据“保三角形函数”的定义,对函数h(x)=-x
2+2x,x∈[1,A],和数列1,1+d,1+2d,(d>0)提出一个正确的命题,并说明理由.
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