Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

Answer

本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力．
（1）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．则我们可以以A的原点，以AE，AF，及平面ABCD的法向量为坐标轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则锐二面角A′-FD-C的余弦值等于平面A′FD的法向量，与平面BEF的一个法向量夹角余弦值的绝对值．
（2）设FM=x，则M（4+x，0，0），因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，根据空间两点之间距离公式，构造关于x的方程，解方程即可得到FM的长．
【解析】
（Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，
又因为平面A′EF⊥平面BEF．
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则A′（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）．
故=（-2，2，2），=（6，0，0）．
设=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，
-2x+2y+2z=0
所以6x=0．
取，则．
又平面BEF的一个法向量，
故．
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）设FM=x，则M（4+x，0，0），
因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，
故，，得，
经检验，此时点N在线段BC上，
所以．
方法二：
（Ⅰ）【解析】
取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH．
因为A′E=A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF
又因为平面A′EF⊥平面BEF，
所以A′H⊥平面BEF，
又AF⊂平面BEF，
故A′H⊥AF，
又因为G、H是AF、EF的中点，
易知GH∥AB，
所以GH⊥AF，
于是AF⊥面A′GH，
所以∠A′GH为二面角A′-DH-C的平面角，
在Rt△A′GH中，A′H=，GH=2，A'G=
所以．
故二面角A′-DF-C的余弦值为．
（Ⅱ）【解析】
设FM=x，
因为翻折后，C与A′重合，
所以CM=A′M，
而CM2=DC2+DM2=82+（6-x）2，
A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=+（2+x）2+22，
故
得，
经检验，此时点N在线段BC上，
所以．