一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球...

一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为．

设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R 当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=，到相对棱的距离是又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为，球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离，棱锥的高为故正三棱锥外接球的半径满足=， ∴内切球与外接球表面积之比为4（πR2）：（4πR22）=R2：R22=1：5．故答案为1：5

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等