Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为平行四边形，PA⊥面ABCD，PC•BD=0，PA=AB=2．∠BAD=60°．
（1）证明：面PAC⊥面PBD．
（2）求C到面PBD的距离．
（3）求面PBC与面PAD的二面角的大小．

Answer

（1）由PA⊥BD，PC⊥BD⇒BD⊥面PAC⇒面PAC⊥面PBD．
（2）由O为AC的中点得A、C到面PBD的距离相等．把C到面PBD的距离转化为A到面PBD的距离．过A做AE⊥PO于E⇒AE为A到面PBD的高．求出AE的长即可．
（3）先把面PBC与面PAD的交线PQ过点P作出来；然后利用三垂线定理极其逆定理把二面角的平面角作出来，再解三角形求出二面角的大小即可．
如图（1）证明：连AC，BD∵PA⊥BD，PC⊥BD∴BD⊥面PAC，
∴面PAC⊥面PBD．（2分）

（2）【解析】
O为AC的中点，故A、C到面PBD的距离相等．
连PO，过A做AE⊥PO于E，
∵面PAC⊥面PBD．
∴AE为A到面PBD的高．（4分）
在Rt△APO中，，AP=2，
∴．
故 C到面PBD的距离为．（7分）

（3）【解析】
∵BC∥AD，
∴BC∥面PAD，
∴过P做PQ即为面PBC与面PAD的交线．
过B做BM⊥AD于M，BM⊥面PAD，过M做MQ⊥PQ于Q，连BQ，
则∠BQM为面PBC与面PAD的二面角的平面角．（9分）
在Rt△BQM中，BM=，MQ=2∴tan∠BQM=∴∠BQM=arctan．（12分）