Question

已知抛物线x²=2y上有两个点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）且x₁x₂=-2m（m为定值且m＞0）．
（1）求证：线段AB与轴的交点为定点（0，m）；
（2） （理科）过A，B两点做抛物线的切线，求夹角的取值范围；
（文科）过A，B两点做抛物线的切线，求两切线夹角的取值范围．

Answer

（1）线段AB与轴交点设为M（0，y），A，B，m（x2-x1）=y（x2-x1），m=y．
由此知线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x2=2y可得．由此借助导数可求出夹角的取值范围．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．由x2=2y可得，则y′=x过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为KAP=x1，KAP=x2，由此可求出两切线夹角的取值范围．
【解析】
（1）∵x1x2=-2m＜0∴线段AB与轴必有交点，且设为M（0，y）．
设A，B，
∴∴
∵x1x2=-2m∴-mx2-x1y=-mx1-x2y
∴m（x2-x1）=y（x2-x1）∵x2≠x1∴m=y．
即线段AB与轴的交点为定点（0，m）．
（2）（理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x2=2y可得，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为KAP=x1，KAP=x2，
若，则．
若，∴=，
∵x1x2=-2m∴，
当时，tan∠APB≥＞0∴∠APB＜．
当时，tan∠APB≤＜0∴π-∠APB＜π．
综上所述，，则时，∠APB＜.时，π-∠APB＜π．
（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P，则两切线的夹角为∠APB．
由x2=2y可得，则y′=x，
∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为KAP=x1，KAP=x2，
若，则．
若，∴
∵x1x2=-2m∴．
∴，∠APB＜．
∴两切线夹角的取值范围为[，]．