Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁＞0，且a_n=f^-1（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与na_n的大小；
（2）若a₁=1，证明：S_n+a_n＞1．

Answer

（1）由，知f（x）在（0，+∞）上为增函数．所以．又=，．所以a1＞2a2＞22a3＞…＞2n-1an，由此能导出Sn＞nan．
（2）由Sn＞（2n-1）an，知Sn+an＞2nan．只需比较an与即可．（an2+1）-（1+an）2=-2an＜0，所以0＜an+1＜1，0＜an＜1．由此能够证明．∴．
【解析】
（1），
则，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．（2分）
∵an=f-1（an+1），
∴．（4分）
又=，
∵，
∴．
∴a1＞2a2＞22a3＞＞2n-1an，
∴Sn=a1+a2+an＞2n-1an+2n-2an+an=（2n-1）an，
∴Sn-nan＞（2n-n-1）an，∵2n-n-1=（1+1）n-n-1≥0
∴Sn-nan＞0，∴Sn＞nan．（8分）
（2）由（1）知Sn＞（2n-1）an，∴Sn+an＞2nan．
下面只需比较an与即可．（9分）
∵（an2+1）-（1+an）2=-2an＜0
∴0＜an+1＜1，∴0＜an＜1．
∴，∴，即．
∴，∴，
故．∴．（12分）