Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．
法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．
（II）法一：求二面角C1-EF-A的大小，转化为求C1-EF-C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，
过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．
∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角．求解即可．
法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．
解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（6分）

（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．
又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是
C1H在底面ABCD内的射影．
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角．
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，
∴tan∠C1HC=．
∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π-arctan2．
故二面角C1-EF-A的大小为．

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴
∴=1-1=0，即D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔
即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F

（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．
连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．
∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角．
∵，
∵．
∴，
=，
即．
故二面角C1-EF-A的大小为π-arccos．