Question

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

Answer

（1）如图当通风窗在CD下方时，即时，由平面几何知识，得，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面积公式建立面积模型．当通风窗在CD的上方时，即时，则MN=，再由三角形面积公式建立面积模型．，
（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
【解析】
（1）当时，由平面几何知识，得．
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=．（3分）
当时，
=，
∴（5分）
（2）当时，S=f（x）=．
∵，
∴，
∴．
①，当x=0时，．
②a＞1，当时，．（7分）
当时，
==，
等号成立⇔⇔．
∴时，．（10分）
当时，∵，
∴时．当x=0，，时，
当，．（12分）
a＞1时，．
当时，．
综上，时，当x=0时，，
即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．时，
当时，，即MN与AB之间的距离为米时，
三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．（16分）