Question

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x²+y²=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）设M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）．因为，故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+yy=4．因为，（1-xQ-yQ）•（1-xN-yn）=（1-xQ）（1-xN）+yQyN=0，所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1．由此可导出动点P的轨迹方程为．
【解析】
（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，
故设椭圆方程为（a＞b＞0）．
设，由准线方程得．
由得，解得a=2，c=，
从而b=1，椭圆方程为．
又易知C，D两点是椭圆的焦点，
所以，|MC|+|MD|=2a=4
从而|MC|•|MD|，
当且仅当|MC|=|MD|，
即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．
（II）如图（20）图，设M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）．
因为，
故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+yy=4①
因为，
（1-xQ-yQ）•（1-xN-yn）
=（1-xQ）（1-xN）+yQyN=0，
所以xQxN+yQyN=xN+xQ-1．②
记P点的坐标为（xP，yP），因为P是BQ的中点
所以2xP=xQ+xP，2yP=yQ+yP
由因为xN2+yN2=1，结合①，②得

=
==
故动点P的轨迹方程为