Question

如图（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）所示．在图（2）中，
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

Answer

（1）欲证AP∥平面EFG，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AP与平面EFG内一直线平行即可，取AD中点M，连接FM、MG，由条件知EF∥DC∥MG，则E、F、M、G四点共面，再根据三角形中位线定理知MF∥PA，满足定理所需条件；
（2）根据CD⊥AD，CD⊥PD，则CD⊥平面PAD，根据中位线可知EF∥CD，从而EF⊥平面PAD，根据二面角平面角的定义可知∠MED为二面角G-EF-D的平面角，在Rt△FDM中，求出此角即可．
【解析】

（1）证明：如图，取AD中点M，连接FM、MG，
由条件知EF∥DC∥MG，
所以E、F、M、G四点共面，
又由三角形中位线定理知MF∥PA，
所以AP∥平面EFG，（6分）
（2）由条件知，CD⊥AD，CD⊥PD，
所以，CD⊥平面PAD，（8分）
又EF为三角形PCD的中位线，所以EF∥CD，
所以EF⊥平面PAD，
即DP⊥EF，MF⊥EF，（10分）
所以∠MFD为二面角G-EF-D的平面角，（11分）
在Rt△FDM中，易知DM=DF=1
所以∠MFD=45°，
即二面角G-EF-D的大小为45°（14分）