Question

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N^*）
（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据题意，可设f（x）=ax+b；利用f2（5）=f（2）•f（14）得到a与b的值，确定出f（x）即可得到an为等差数列，利用等差数列求和的方法得到Tn即可；
（2）求出anbn的通项，表示出sn，求出它的二倍即相反数，相加即可得到sn的通项．
【解析】
（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比数列得
8a+b=15，f2（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）2=（2a+b）（14a+b）得到：3a2+6ab=0
∵a≠0∴a=-2b由①②得a=2，b=-1，∴f（x）=2x-1
∴an=2n-1，显然数列{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列
∴═．
（2）∵anbn=（2n-1）•2n∴sn=a1b1+a2b2+…+anbn=2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n
2sn=22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）2n+1
-sn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1=2+23•（2n-1-1）-（2n-1）2n+1
∴sn=（2n-3）•2n+1+6