Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁，a₃，a₁₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）b_n=20-a_n，T_n前n项和，求T_n的最值．

Answer

（1）先根据10Sn=an2+5an+6求出a1的值，再结合10Sn-1=an-12+5an-1+6可得到（an+an-1）（an-an-1-5）=0，进而得到an-an-1=5可求出an=5n-3．
（2）根据（1）中{an}的通项an可得到bn=20-an=23-5n，再由等差数列的前n项和公式可得到Tn的表达式，进而求出Tn的最大值．
【解析】
（1）∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn-1=an-12+5an-1+6（n≥2），②
由①-②得 10an=（an2-an-12）+5（an-an-1），即（an+an-1）（an-an-1-5）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5 （n≥2）．
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3；
当a1=2时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n-3．
（2）∵bn=20-an=23-5n
所以Tn==
当n=4时，Tn取得最大值42．