Question

已知：有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2 ），a₁=2，设该数列的前n项和为S_n且满足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n．
（3）设c_n=，若a=2，求满足不等式≥时k的最小值．

Answer

（1）由Sn+1=aSn+2（n=1，2，2k-1），知Sn=aSn-1+2（n=2，3，k），由此得an+1=a•an，从而能求出{an}的通项公式．
（2）由bn-bn-1=log2an-log2an-1=log2an-1log2=log2a（n=2，3，2k），知{bn}是以b1=1为首项，以log2a（a＞1）为公差的等差数列，由此能求出Tn．
（3）cn==1+=1+（n=1，2，2k），当cn≤时，n≤k+，n为正整数，知n≤k时，cn＜．当n≥k+1时，11k2-72k+3≥0，由此解得满足条件的k的最小值为6．
【解析】
（1）由Sn+1=aSn+2（n=1，2，2k-1）（1）
Sn=aSn-1+2（n=2，3，k）（2）
（1）-（2）得an+1=a•an（n=2，3，2k-1）
由（1）式S2=aS1+2，a1+a2=aS1+2
解得a2=2a，因为
所以{an}是以2为首项，a为公比的等比数列，an=2•an-1（n=1，2，2k）
（2）∵bn-bn-1=log2an-log2an-1=log2an-1log2=log2a（n=2，3，2k）
∴{bn}是以b1=1为首项，以log2a（a＞1）为公差的等差数列
∴Tn==
=n+（a＞1，n=1，2，2k）
（3）cn==1+=1+（n=1，2，2k）
当cn≤时，n≤k+，n为正整数，知n≤k时，cn＜
当n≥k+1时，cn＞
=（-c1）+（-c2）++（-ck）+（ck+1-）++（c2k-）
=（ck+1+ck+2++c2k）-（c1+c2++ck）
={[k+（k+1）++（2k-1）]+2k}-{[1+2++（k-1）]+k}
=[-]
=≥
即11k2-72k+3≥0，（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤
所以满足条件的k的最小值为6．