Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

Answer

（1）欲证AD⊥平面BCC1B1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AD与平面BCC1B1内两相交直线垂直，而C1C⊥AD，又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，满足定理条件；
（2）根据（1）得AD⊥BC，D为BC边上的中点，连接DE，而点E是B1C1的中点，则四边形B1BDE为平行四边形，可证四边形A1ADE为平行四边形，从而A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，根据线面平行的判定定理可知A1E∥平面ADC1．
证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴C1C⊥AD，
又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，
∴AD⊥平面BCC1B1．（6分）
（2）由（1）得∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，（9分）
连接DE，∵点E是B1C1的中点，
∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形B1BDE为平行四边形，
∴，又，∴，∴四边形A1ADE为平行四边形．（12分）
∴A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
∴A1E∥平面ADC1．（14分）