Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点F在直线m：y=上，直线m与抛物线相交于A，B两点，P为抛物线上一动点（不同于A，B），直线PA，PB分别交该抛物线的准线l于点M，N．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以MN为直径的圆C经过焦点F，且当P为抛物线的顶点时，圆C与直线m相切．

Answer

（1）依题意可知焦点F的坐标，进而求得p，则抛物线的方程可得．
（2）把直线与抛物线方程联立，求得交点A，B的坐标，设出点P的坐标，则直线AP的斜率可表示出来，根据点斜式表示直线AP的方程，把x=-1代入求得M的纵坐标，同理可表示出直线PB的方程把x=-1代入求得N的纵坐标，进而求得判断出MF⊥NF，进而可知以MN为直径的圆C经过焦点F．当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心坐标，进而求得，进而可知CF⊥AB，推断出圆C与直线m相切．
【解析】
（1）依题意，焦点F（1，0），抛物线方程为y2=4x．
（2）由得4x2-17x+4=0，x1=4，，
∴．
设，则，
直线PA：，令x=-1，
得，即，
同理，直线PB：，令x=-1，得，
即，
∴，∴MF⊥NF，
∴以MN为直径的圆C经过焦点F．
当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心，，，
∴，即CF⊥AB，
∴圆C与直线m相切．