Question

过原点O作圆x²+y²-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P₁，P₂两点，求P₁P₂的中点P的轨迹．

Answer

设割线OP1P2的直线方程为y=kx与圆的方程联立得（1+k2）x2-2（1+2k）x+4=0，再由韦达定理得：，因为P是P1P2的中点，所以，再由P点在直线y=kx上，得到，代入上式得整理即可．要注意范围．
【解析】
设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程，
得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0
即（1+k2）x2-2（1+2k）x+4=0
设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标；
由韦达定理得：

又设P点的坐标是（x，y）
P是P1P2的中点，所以
又P点在直线y=kx上，
∴，代入上式得
两端乘以，得
即x2+y2=x+2y

这是一个一点为中心，以为半径的圆，
所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．