Question

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）D是棱A₁C₁上的一点，若使直线BC₁∥平面AB₁D，试确定点D的位置，并证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer

（Ⅰ）把原图还原得该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高h=3，代入正三棱柱的体积计算公式即可．
（Ⅱ）因为棱A1C1上最特殊的点就是中点，再借助于线线平行来推线面平行的推法，找和直线BC1平行的中位线即可．
（Ⅲ）在平面AA1D中找两条相交直线和平面AB1D中的直线B1D垂直即可．
【解析】
由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高h=3，（2分）
（Ⅰ）底面是高为的正三角形，易知底面边长为2，
所以底面面积，
所求体积．（4分）
（Ⅱ）连接A1B，且A1B∩AB1=O，
∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A1B的中点，（5分）
若BC1∥平面AB1D，

连接DO，BC1⊂平面A1BC1，，平面AB1D∩平面A1BC1=DO，
∴BC1∥DO，
∴DO是△A1BC1的中位线，
∴D为A1C1的中点．
即D为A1C1的中点时，BC1∥平面AB1D．（8分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，
∴B1D⊥A1C1．，
又由三棱柱性质知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，
且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1，B1D⊂平面A1B1C1，
∴B1D⊥平面AA1D，（10分）又B1D⊂平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面AA1D..（12分）