Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．

Answer

（I）解法一：由题设条件可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．然后用数学归纳法证明．
解法二：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，可知为等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{an}的通项公式．
（II）设Tn=λ2+2λ3+3λ4++（n-2）λn-1+（n-1）λn，λTn=λ3+2λ4+3λ5++（n-2）λn+（n-1）λn+1．然后用错位相减法进行求解．（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．
【解析】
（I）解法一：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23，
a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24．
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．
以下用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a1=2，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，
那么，ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k+1）-1]λk+1+2k+1．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an=（n-1）λn+2n对任何n∈N*都成立．
解法二：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0．故，
所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．
（II）【解析】
设Tn=λ2+2λ3+3λ4++（n-2）λn-1+（n-1）λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5++（n-2）λn+（n-1）λn+1．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）Tn=λ2+λ3++λn-（n-1）λn+1=，．
这时数列{an}的前n项和．
当λ=1时，．这时数列{an}的前n项和．
（III）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：．③
由λ＞0知an＞0．要使③式成立，只要2an+1＜（λ2+4）an（n≥2）．因为（λ2+4）an=（λ2+4）（n-1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．（n-1）λn+4×2n=4（n-1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．