Question

设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为．
（I）证明：；
（II）设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

Answer

（1）先求得A点的坐标，再求得直线AF1的方程，利用点到直线的距离结合条件得到一个关于a，b的关系式，化简即得；
（2）设点D的坐标为（x，y）．欲求其轨迹方程，即寻找x，y的关系式，由直线Q1Q2的方程和椭圆的方程组成方程组，结合向量的垂直关系即可找到找x，y的关系式，从而问题解决．
【解析】
（I）由题设AF2⊥F1F2及F1（-c，0），F2（c，0），
不妨设点A（c，y），其中y＞0．
由于点A在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线AF1的方程为，整理得b2x-2acy+b2c=0．
由题设，原点O到直线AF1的距离为，即，
将c2=a2-b2代入上式并化简得a2=2b2，即．

（II）设点D的坐标为（x，y）．当y≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为，
所以直线Q1Q2的方程为，或y=kx+m，其中．
点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得x2+2（kx+m）2=2b2．
整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2b2=0．
于是，．③
由①式得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2==．④
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0．将③式和④式代入得，3m2=2b2（1+k2）．
将代入上式，整理得．
当y=0时，直线Q1Q2的方程为x=x．点Q1（x1，y），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组
所以．
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即，解得
这时，点D的坐标仍满足．
综上，点D的轨迹方程为．