Question

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*．
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设．证明|T_n|＜2n²，n≥3．

Answer

（Ⅰ）【解析】
题设有a1+a2-4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．
（Ⅱ）由题设条件猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|Tn|＜2n2．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
由题设有a1+a2-4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．
（Ⅱ）【解析】
由题设nSn+1-（n+3）Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．
先证，n∈N*．
当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，，等式成立．
（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．
由题设，kSk+1=（k+3）Sk（k-1）Sk=（k+2）Sk-1
①的两边分别减去②的两边，整理得kak+1=（k+2）ak，从而．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．
综上所述，等式对任何的n∈N*都成立
再用数学归纳法证明bn=（n+1）2，n∈N*．
（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即bk=（k+1）2，那么．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式bn=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．
（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=-22-32+42+52--（4k-2）2-（4k-1）2+（4k）2+（4k+1）2．
注意到-（4k-2）2-（4k-1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k-4，故4k（4k+4）-4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．
当n=4k-1，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×4k-（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）-（n+2）2=n
当n=4k-2，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×4k-（4k+1）2-（4k）2=3（n+2）-（n+3）2=-n2-3n-3．
当n=4k-3，k∈N*时，Tn=3×4k-（4k+1）2+（4k-1）2=3（n+3）-（n+4）2+（n+2）2=-n-3．
所以．
从而n≥3时，有
总之，当n≥3时有，即|Tn|＜2n2．