Question

已知数列{a_n}是等差数列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判断数列{c_n}是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k（k为常数），试写出数列{c_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列{c_n}得前n项和为S_n，问是否存在这样的实数k，使S_n当且仅当n=12时取得最大值．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设{an}的公差为d，则cn+1-cn=（an+12-an+22）-（an2-an+12）=-2d2，所以数列{cn}是以-2d2为公差的等差数列．
（2）由a1+a3+…+a25=130a2+a4+…+a26=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能导出an=a1+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出数列{cn}的通项公式．
（3）因为当且仅当n=12时Sn最大，所以c12＞0，c13＜0，由此能求出k的取值范围．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，则cn+1-cn=（an+12-an+22）-（an2-an+12）=2an+12-（an+1-d）2-（an+1+d）2=-2d2
∴数列{cn}是以-2d2为公差的等差数列（4分）
（2）∵a1+a3+…+a25=130a2+a4+…+a26=143-13k∴两式相减：13d=13-13k
∴d=1-k（6分）
∴∴a1=-2+12k（8分）
∴an=a1+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴cn=an2-an+12=（an+an+1）（an-an+1）=26k2-32+6-（2n+1）（1-k2）=-2（1-k）2•n+25k2-30k+5（10分）
（3）因为当且仅当n=12时Sn最大
∴有c12＞0，c13＜0（12分）
即
（15分）