Question

[1]已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．
（1）求矩阵A，并写出A的逆矩阵；
（2）若向量，试计算M⁵⁰β．
[2]已知是定义在区间[-1，1]上的函数，设x₁，x₂∈[-1，1]且x₁≠x₂．
（1）求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）若a²+b²=1，求证：．

Answer

[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得，c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，
可得3c-2d=-2，由此能求出矩阵A和A的逆矩阵．
（2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．由此能求出M50β．
[2]（1），由此可证明|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|；
（2）由此能够推导出．
【解析】
[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得，
=6，即c+d=6；（1分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，
可得=，即3c-2d=-2，（2分）
解得即A=，（3分）
A逆矩阵是．（5分）
（2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．（7分）
所以M50β=M50（5α1-α2）
=5（M50α1）-（M50α2）
=5（λ150α1）-（λ250α2）
=．（10分）
（选修4-5：不等式选讲）
证：[2]（1）
∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|，，
∴|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．（5分）
（2），
∵a2+b2=1，
∴．（10分）