Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）的导函数f′（x）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的坐标分别为M（-，3），N（，-3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）图象，直线x=t（t∈[0，]）与f（x），g（x）的图象分别交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题意知，f′（x）=Aϖcos（ϖx+φ），由相邻的两个顶点的坐标可求A、ϖ，再由五点法作图可求φ．
（Ⅱ）由函数f（x）的解析式求得函数g（x）的解析式，化简∴|PQ|=|f（t）-g（t）|的解析式，
得到|PQ|=2|cos（t+）|，由 0≤t≤，求|PQ|的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，f′（x）=Aϖcos（ϖx+φ），函数f′（x）的周期 ，∴．又Aϖ=3，∴A=2．
∵是最高点坐标，∴φ=0，∴φ=．∴．（5分）

（Ⅱ）．（7分）
∴|PQ|=|f（t）-g（t）|=．
∵t，∴∴|PQ|∈[1，2]．
∴|PQ|的最大值为2．．（12分）