Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令T_n=++…+，求证T_n≤．

Answer

（Ⅰ）令n=1，导出a1=1．令n=2，导出．令n=3可解得．
（Ⅱ）由2snan-an=1，an=sn-sn-1，知sn2-sn-12=1，所以s2n=1+n-1=n，．
（Ⅲ）≤1+=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=．
【解析】
（Ⅰ）令n=1则有2a21-a21=1，⇒a1=1（a1=-1舍去）．
令n=2，得2（a1+a2）a2-a22=1，即a22+2a2-1=0．
∴（舍去负值）．
同理，令n=3可解得．（3分）
（Ⅱ）∵2snan-an=1，①
又n≥2时有an=sn-sn-1，代入①式并整理得sn2-sn-12=1．
∴sn2是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴sn2=1+n-1=n，∴（n≥2），又a1=1
∴．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知≤1+
=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=
即．（12分）