Question

如图所示，椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知、、成等比数列，-=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F₁AF₂B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可知，通过、、成等比数列推断出a2=2bc，进而根据a，b和c的关系求得a和b的关系，利用求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用k1•k2=求得b，进而可求得直线l与y轴相交的点．
（III）由（Ⅱ）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x和y，p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，进而联立不等式组，求得k的范围．
【解析】
（Ⅰ）易知、（其中），
则由题意知有a2=2bc．又∵a2=b2+c2，联立得b=c．∴a=．
∵，∴2accos45°=2
∴b2=1a2=2．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）．
由⇒（1+2k2）x2+4kbx+2b-2=0．
∴．
∵．
∴=
将韦达定理代入，并整理得=3，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）．

（III）由（Ⅱ）中（1+2k2）x2+8kx+6=0，其判别式△＞0，得．①
设弦AB的中点P坐标为（x，y），则，y=k+2=，
∴p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，即满足
将坐标代入，整理得
解得②
由①②得所求范围为或．