Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1．
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁CB的体积；
（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值．

Answer

方法一：
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面A1BC内找到与直线B1C1平行的直线就可以了；
（2）解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解．如此题中要求三棱锥A-A1CB的体积，不要直接的就把面A1CB看成底面，再去寻找它的高，这样子高很难作出来，并且还要证明；实际上，只要稍微观察一下就知道，如果以ACB为底面的话，则很显然的AA1即为高，计算就简单多了．
（3）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．此题中因为A1A⊥平面ABC，所以在平面ABC内过点A向BC做垂线AD，交BC延长线于点D，连接A1D，所以A1D⊥BD．则∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角．
方法二：
在直棱柱、直棱锥、直棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以CA、CC1为x、z轴，以及CA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系c-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
【解析】
方法1：
（Ⅰ）
∵在三棱柱中C1B1∥CB，BC⊂平面A1BC且B1C1⊄平面A1BC
则B1C1∥平面A1BC．（3分）
（Ⅱ）【解析】
因为VA-A1CB=VA1-ABC=×1×（×1×1×sin120°）=．（6分）
（Ⅲ）【解析】
在平面ABC内过点A向BC做垂线AD，
交BC延长线于点D，连接A1D．
因为A1A⊥平面ABC，
所以A1D⊥BD．
所以∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角．
容易求出AD=，
所以tan∠A1DA===．
即二面角A1-CB-A的正切值是（13分）

方法2：
如图建立空间直角坐标系，则有
A（1，0，0），A1（1，0，1），B（-，，0），
B1（-，，1），C1（0，0，1）．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）略．
（Ⅲ）【解析】

显然n1=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．
设n2=（x，y，z）是平面A1BC的法向量，
则n2•=0，且n2•=0．
即x+z=0，且-x+y=0．
解得平面A1BC的一个法向量是n2=（1，，-1）．
因为n1•n2=-1，|n1|=1，|n2|=，
设二面角A1-CB-A的大小为β，
则cos（π-β）=-=-．所以cosβ=．
所以tanβ=（13分）