Question

设函数，a∈R．
（Ⅰ）当x=2时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内为增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）先求f′（x）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值．
（2）高次多项式函数的单调性，可以用导数的知识求解，要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有
f′（x）=2a2+ax+1≥0即可，
【解析】
f′（x）=2a2+ax+1，
（Ⅰ）由题意：f′（2）=8+2a+1=0
解得．（3分）
（Ⅱ）方程2a2+ax+1=0的判别式△=a2-8，
（1）当△≤0，即时，2a2+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数；
（2）当△＞0，即或时，
要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有2a2+ax+1≥0即可，
设g（x）=2a2+ax+1，
由得a＞0，所．
由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）内为增函数，a的取值范围是[，+∞）．（13分）