Question

已知曲线W上的动点M到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．过点P（-1，0）任作一条直线l与曲线W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）求证；
（Ⅲ）求△PBC面积S的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题知，曲线W是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1准线的抛物线，由此可求出曲线W的方程．
（Ⅱ）因为直线l与曲线W交于A、B两点，所以l的斜率k存在，设直线l的方程为y=k（x+1），得，k2x2+（2k2-4）x+k2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（Ⅲ）由题意=|k（x1+x2+2）|==，再由|k|＜1且k≠0，可以求出S的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题知，曲线W是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1准线的抛物线，
所以曲线W的方程为y2=4x．（2分）
（Ⅱ）因为直线l与曲线W交于A、B两点，所以l的斜率k存在，且k≠0
设直线l的方程为y=k（x+1），
得，k2x2+（2k2-4）x+k2=0．（4分）
因为直线l与曲线W交于A、B两点，
所以k≠0，△=4（k2-2）2-4k4＞0，即|k|＜1且k≠0．
设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，x1x2=1，点C的坐标为（x1，-y1），y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）．
所以，．（8分）
又因为（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）
=（x1-1）k（x2+1）+（x2-1）k（x1+1）
=k（2x1x2-2）=0，
所以．（10分）
（Ⅲ）由题意（12分）
=|k（x1+x2+2）|
=
=．（13分）
因为|k|＜1且k≠0，所以S的取值范围是（4，+∞）．（14分）