Question

如图，B为△APC的边AC上的一点，且AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，∠PBA=θ．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．

Answer

（1）先根据∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，求PB的值，进而在△BPC中，利用正弦定理求得sinθ=2cosθ．进而求得tanθ的值．
（2）根据（1）中的sinθ=2cosθ，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，进而求得PA和PB，利用余弦定理求得PC，最后根据向量积公式求得答案．
【解析】
（1）∵∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，∴PB=acosθ．
又在△BPC中，BC=a，∠BPC=45°，∴∠BCP=θ-45°，
∴，
∴sin45°cosθ=sin（θ-45°）．∴sinθ=2cosθ．tanθ=2．
（2）由（1）知sinθ=2cosθ，又sin2θ+cos2θ=1
∴，．∴
在△BPC中，，
∴
从而．